8.6 The Trapezium Rule - 知识点总结

1. 梯形法则的基本概念

关键点：当无法用代数方法积分函数时，可以使用数值方法来近似计算曲线下的面积。

梯形法则：\(\int_a^b y dx \approx \frac{1}{2}h[y_0 + 2(y_1 + y_2 + ... + y_{n-1}) + y_n]\)

其中：\(h = \frac{b-a}{n}\)，\(y_i = f(a + ih)\)

图1：梯形法则基本概念 - 将曲线下面积分割成n个梯形

图2：梯形分割示意图 - 计算每个x点的y值

重要：每个梯形的面积 = \(\frac{1}{2}(y_0 + y_1)h\)

图3：单个梯形面积计算

图4：多个梯形组合近似曲线下面积

Hint：对于n个梯形，将有n+1个x值和n+1个y值。

Watch out：在考试中使用梯形法则时，要显示x_i和y_i的值以及如何代入公式。

当曲线是凹的（向下弯曲）时，梯形完全在曲线下方，梯形法则会给出低估值。

图5：凹曲线示例 - 梯形法则给出低估值

增加梯形数量（减少宽度）可以提高近似的精度。

注意事项：

学习建议：重点掌握表格制作和公式应用，多做不同分割数的练习。